106 第二次北模數甲解析

好久沒寫數學題目了,來分享一下

感謝 purin3 網友提供,

https://drive.google.com/open?id=1iBaRzo_TvmXX002sSSW6OT36vEJ8FVH7


單選一

f(x)很明顯是個是指數函數,指數的部分為x的一次多項式
在指數函數x移動相同距離f(x)的value應該呈現相同倍數關係

f(2) = 8 , f(4) = 24 , f(6) = 72

選(5)


單選二

這題秒選(3),因為其他選項都是對稱的

選(1)就得選(5),選(2)就得選(4),可惜這題是單選題

不用思考。


單選三

這題考三角函數tan = 斜率,我老早就忘tan(2x)公式是啥XD
考生應該要馬上知道是多少

算出來推得24x+7y=100

選(4)


單選四

10(1-P)+6P(1-P)-2P*P

看常數只有一個有10,秒選(1)。


多選一

這題好麻煩,雖然是考我最喜歡的空間向量
可是打latex的語法很麻煩啊啊,整個好像在寫論文QQ

(1)
\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}  = (6,-9,18)

已知ABC共平面的法向量,然後代其中一點得該平面的常數項為4
若D點也是共平面
則 a = 2

(2)
用剛剛選項一算好的法向量在跟AD內積可以得平行六面體的體積,但題目是要算四面體,所以除以2(底面為三角形)在除以3(錐體)
\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD} * 1/6  = (6,-9,18)  \cdot (6,8,a) = 36
則 a = 4

(3) 只要不是三點共線,這個就可以有一圓可以過ABC三點。

(4)
單純套公式的一題
|\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}|*\frac{1}{2}=10=\sqrt{\overrightarrow{AB}^{2}*\overrightarrow{AC}^2-(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD})^2}
則 a = -2 || 6

(5)
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}  = 50 + a = 0
則 a = -50

選(1)(5)


多選二

這題要看圖所以得把圖貼上來

(1)
圖中很明顯有三個極值點,所以兩側只會繼續往上走,y=x穿過去只會有兩交點。

(2)
在y=1的位置畫條水平線,與f(x)的交點即為根,兩正實根,兩負實根,乘積大於0。

(3)
f(x-1),x-1的意思就是整個圖往右一個,所以解應該變為3<x<9。

(4)
f(2x),2x代表圖形左右縮小一半,所以這個選項對。

(5)
這個選項是唯一要算的,看圖感覺α是接近0沒錯,但保險一下
f(x)=(ax+b)(x+4)(x-2)(x-8),把B點代入解a,b,微分後可以得

極值發生的位置\alpha= -4  || \frac{11\pm\sqrt{153}}{4} 

其中\alpha=  \frac{11-\sqrt{153}}{4}  這在±1之間,N次方後會收斂至0

這題(2)(5),官方解答還一直算…,一直不是很懂長久以來解答為什麼都要這樣寫,明明都是觀念題


多選三

這題比較少見點sin,cos組合的函數還是個弦波

(1)
其陣幅就是原先的sin cos係數平方相加開根號 \sqrt{1+a^2}
在x對稱的地方弦波會有最大或最小值,所以在把5π/3帶入

 \sin{5\pi/3} + a*\cos{5\pi/3} = \sqrt{1+a^2}

a=\frac{\sqrt{3}}{3} (重根)

(2)
組合後的週期並沒有改變,所以還是2π,震幅剛剛已經把a算出來了

代入 \sqrt{1+a^2}

r=\frac{2\sqrt{3}}{3}

(3) 這時候要解疊合後,\theta確切的位置

設疊合後的rsin(x+θ) = r(sinxcosθ + cosxsinθ) = sinx + acosx

r震幅,a剛剛都解完了,不再贅述

得θ = -π/6,5π/3會是在valley的位置

(4) 已知疊合後的函數為 r*sin(x-π/6),f(1/2-π/6) < 0,這邊大概稍微估計π/6為0.5…..,這時候函數應該是負的

(5) 錯誤敘述在對Y軸為基準線做水平放大….,是對X軸

這題選(2)(4)


選填一

|z+2-i| = 1,z的組合就是在圓心為(-2,i)、半徑為1的所有複數集合

接著問|z-2+i|的最大值,就是問這集合中哪個z離(2,-i)最遠,

肯定是該點穿過圓心的較遠的那個交點,即為到圓心的距離加半徑

3\sqrt{2} + 1

這題算非常簡單吧


選填二

這題畫圖就知道夾角是  60^\circ

鄰邊30,20,餘弦定理算出野手到二壘距離為10\sqrt{7}

跑者要花兩秒的時間,所以答案為10\sqrt{7} / 2 =5\sqrt{7}


選填三

這題我大概多思考了幾秒鐘XD,剛看到的時候以為是很難的題目,但畫一下圖就有感覺了

這邊要申明,畫圖絕對有助於思考,但要畫得好看,或是說不能畫太不像。

但花太久時間在畫圖上又有點失去本來的意義(中文不太好XD,記得有有個成語可以形容阿阿阿)

回歸正傳,dot後要小於0

代表其\overrightarrow{PA},\overrightarrow{PB} 夾角是要大於90度,

考慮90度這個界線,這時候P會是一個圓,在圓內的集合就會大於90度惹,所以題目在問圓型的面積

左下側因為第一象限的關係,剛好就是個直角三角形的面積4

右上側是一個完整的半圓,5π /2

答案為4+5π /2


選填四

這題定積分應該也不會算太難

 \int_{1}^{2} f(x) dx = A

然後把A帶入在做一次一到二的定積分,就可以解A了

A=2

然後再解一次0到1的定積分, \int_{0}^{1} 3x^2-4x+1 = 0


計算一

這題我覺得最難,因為上大學後我最爛的就是線性代數XD

但線代很重要,我的老師曾說:「當你在數學中迷失方向的時候,Linear Algebra就是你們的燈塔」

雖然我從來找不到這個燈塔XD,但現在甚麼ML DL其實都吃很這個的基本功

長痛不如短痛當初應該好好學的

第一小題線性變換投射的過去很簡單

 \left( \begin{array}{cc} \sqrt{3} & -1\\ 1 & \sqrt{3} \end{array} \right)

第二小題

二階反矩陣高中有公式套,三階好像也有(google第一個就是大學線代老師惹XD)

 \left( \begin{array}{cc} \sqrt{3} & 1\\ -1 & \sqrt{3} \end{array} \right)*\frac{1}{4}

第三小題

這題好像在考旋轉矩陣,算完反矩陣之後處理一下可以轉乘旋轉矩陣,應該是最難的RRR

然後轉99次,角度*99次取同界角,在乘上去就知道a_1+b_1 =512-256=256


計算二 第一小題

 f^{'}(x) = 3x^2-6

. f^{'}(-2) = 6 = m_{L}

p點帶入f(x)可以得到(-2,4)

帶入L的方程式可以得到常數項

y = 6x+16

第二小題

這時候要在算另一個交點

.6x+16 = x^3-6x

.x^3-12x-16=0

.(x+2)(x^2-2x^2-8)=0

. (x+2)(x-4)(x+2)=0

然後作L-f(x)從-2到4的定積分

懶得打latex惹大家自己算!!

反正算出來是108